BARISAN DAN DERET

1. Pengertian Barisan

    Barisan adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. Bilangan-bilangan yang tersusun tersebut disebut suku. Perubahan di antara sukusuku berurutan ditentukan oleh ketambahan bilangan tertentu atau suatu kelipatan bilangan tertentu.

Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai tambahan bilangan yang tetap,
maka barisan ini disebut barisan aritmetika. Misal:

a. 2, 5, 8, 11, 14, ……………. ditambah 3 dari suku di depannya
b. 100, 95, 90, 85, 80, …….. dikurangi 5 dari suku di depannya

Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai kelipatan bilangan tetap, maka disebut
barisan geometri. Misal:

a. 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ………. dikalikan 2 dari suku di depannya
b. 80, 40, 20, 10, 5, 2½, ………… dikalikan ½ dari suku di depannya



2. Pengertian Deret

Deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan. Misal:

Deret aritmetika (deret hitung) : 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30

Deret geometri (deret ukur) : 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62


3. Barisan dan Deret Aritmatika

    a. Barisan Aritmatika
U₁, U₂, U₃, …….U_n-1, U_n disebut barisan aritmatika, jika
U₂ – U₁ = U₃ – U₂ = …. = U_n – U_n-1 = konstanta
Selisih ini disebut juga beda (b) = b =U_n – U_n-1
Suku ke-n barisan aritmatika a, a+b, a+2b, ……… , a+(n-1)b
U₁, U₂,   U₃ …………., U_n

Rumus Suku ke-n :
U_n = a + (n-1)b = bn + (a-b) ® Fungsi linier dalam n

Misal: 2, 5, 8, 11, 14, ………an
a1 = 2 = a
a2 = 5 = 2 + 3 = a + b
a3 = 8 = 5 + 3 = (a + b) + b = a + 2b
a4 = 11 = 8 + 3 = (a + 2b) + b = a + 3b
an = a + (n-1) b


Jadi rumus suku ke-n dalam barisan aritmetika adalah:
b a a ( n 1 ) n 1 = + – atau S a ( n 1)b n 1 = + – dimana:
Sn = an = Suku ke-n
a1 = suku pertama
b = beda antar suku
n = banyaknya suku

contoh soal
1. Suatu barisan aritmatika suku ke 3 nya adalah -1 dan suku ke-7 nya 19. tentukan : U70
Solusi :


Kurangi U3 dengan U7
20 = 4b

Dari b=5, masukkan ke persamaan U7
19 =a +30
a= -11

U70 = 334
     b. Deret Aritmetika (Deret Hitung)

a + (a+b) + (a+2b) + . . . . . . + (a + (n-1) b) disebut deret aritmatika.
a = suku awal
b = beda
n = banyak suku
U_n = a + (n – 1) b adalah suku ke-n

Jumlah n suku
Sn = 1/2 n(a+U_n)
= 1/2 n[2a+(n-1)b]
= 1/2bn² + (a – 1/2b)n ® Fungsi kuadrat (dalam n)

Keterangan:

1. Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = S_n“)
2. Barisan aritmatika akan naik jika b > 0
   Barisan aritmatika akan turun jika b < 0
3. Berlaku hubungan U_n = S_n – S_n-1 atau Un = S_n’ – 1/2 S_n“
4. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah

U_t = 1/2 (U₁ + U_n) = 1/2 (U₂ + U_n-1)          dst.

1. S_n = 1/2 n(a+ U_n) = nU_t ® U_t = Sn / n
2. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan aritmatika, maka untuk memudahkan perhitungan misalkan bilangan-bilangan itu adalah a – b , a , a + b

Contoh soal
1:Hitunglah jumlah bilangan antara 1 dan 400 yang habis dibagi 5 tetapi tidak habis dibagi 7
Jawab:
S=Jumlah bil. kelipatan 5 – Jumlah bil. kelipatan 35
_= (5+10+15+…+395) – (35+70+…+385)
_= –
_=
_= 15800 – 2130
_= 13490.
Contoh Soal 2: Seutas tali dipotong-potong menjadi 14 bagian yang panjangnya membentuk barisan aritmatika. Jika tali yang terpanjang 21 cm dan bagian terpendek 4 cm, tentukan panjang tali semula.
Jawab:
S = = 175 cm.
Contoh Soal 3:Di antara bilangan 3 dan 99 disisipkan 15 buah bilangan sehingga bilangan-bilangan yang disisipkan membentuk suatu barisan aritmatika. Cari beda barisan tersebut dan carilah jumlah deret aritmatika tersebut.
Jawab:
Logikanya, jika disisipkan 15 buah bilangan, maka renggang dari 3 sampai 99 ada (15+1)interval.
99 = 3 + 16d, maka d = 6. Jadi, bedanya adalah 6.
S = = 17.51 = 867.

4. Barisan dan Deret Geometri

    a. Barisan Geometri
U₁, U₂, U₃, ……., U_n-1, U_n disebut barisan geometri, jika
U₁/U₂ = U₃/U₂ = …. = U_n / U_n-1 = konstanta
Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r)
Rasio r = U_n / U_n-1

Suku ke-n barisan geometri
a, ar, ar² , …….ar^n-1
U₁, U₂, U₃,……,U_n
Suku ke n U_n = ar^n-1
® fungsi eksponen (dalam n)


Misal: 3, 6, 12, 24, 48, ……………..
a1 = 3 = a
a2 = 6 = 3 x 2 = a x r = ar
a3 = 12 = 6 x 2 = ar x r = ar2
a4 = 24 = 12 x 2 = ar2 x r = ar3
an = arn-1

Jadi rumus suku ke-n dalam barisan geometri adalah:
n 1
n a =ar – dimana:
an = suku ke- n (Sn)
a = suku pertama
r = rasio antar suku berurutan
n = banyaknya suku



    b. Deret Geometri (Deret Ukur)
a + ar² + ……. + ar^n-1 disebut deret geometri
a = suku awal
r = rasio
n = banyak suku

Jumlah n suku
Sn = a(rⁿ-1)/r-1 , jika r>1
= a(1-rⁿ)/1-r , jika r<1 ® Fungsi eksponen (dalam n)

Keterangan:

1. Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap
2. Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku
   U_n > U_n-1
3. Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku
   U_n < U_n-1
   
   Bergantian naik turun, jika r < 0
4. Berlaku hubungan U_n = S_n – S_n-1
5. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
   _______      __________
   Ut = Ö U₁xU_n = Ö U₂ X U_n-1 dst.
6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar

5. DERET GEOMETRI TAK BERHINGGA

Deret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari
U₁ + U₂ + U₃ + …………………………
¥
å Un = a + ar + ar² …………………….
n=1

dimana n ® ¥ dan -1 < r < 1 sehingga rⁿ ® 0

Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :
Jumlah tak berhingga S_¥ = a/(1-r)

Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1

Catatan:
a + ar + ar² + ar³ + ar⁴ + …….……….


Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil

a+ar² +ar⁴+ …….                     S_ganjil = a / (1-r²)



Jumlah suku-suku pada kedudukan genap

a + ar³ + ar⁵ + ……                  S_genap = ar / 1 -r²

Didapat hubungan : S_genap / S_ganjil = r