BARISAN DAN DERET

1. Pengertian Barisan

    Barisan adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. Bilangan-bilangan yang tersusun tersebut disebut suku. Perubahan di antara sukusuku berurutan ditentukan oleh ketambahan bilangan tertentu atau suatu kelipatan bilangan tertentu.

Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai tambahan bilangan yang tetap,
maka barisan ini disebut barisan aritmetika. Misal:

a. 2, 5, 8, 11, 14, ……………. ditambah 3 dari suku di depannya
b. 100, 95, 90, 85, 80, …….. dikurangi 5 dari suku di depannya

Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai kelipatan bilangan tetap, maka disebut
barisan geometri. Misal:

a. 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ………. dikalikan 2 dari suku di depannya
b. 80, 40, 20, 10, 5, 2½, ………… dikalikan ½ dari suku di depannya



2. Pengertian Deret

Deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan. Misal:

Deret aritmetika (deret hitung) : 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30

Deret geometri (deret ukur) : 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62


3. Barisan dan Deret Aritmatika

    a. Barisan Aritmatika
U₁, U₂, U₃, …….U_n-1, U_n disebut barisan aritmatika, jika
U₂ – U₁ = U₃ – U₂ = …. = U_n – U_n-1 = konstanta
Selisih ini disebut juga beda (b) = b =U_n – U_n-1
Suku ke-n barisan aritmatika a, a+b, a+2b, ……… , a+(n-1)b
U₁, U₂,   U₃ …………., U_n

Rumus Suku ke-n :
U_n = a + (n-1)b = bn + (a-b) ® Fungsi linier dalam n

Misal: 2, 5, 8, 11, 14, ………an
a1 = 2 = a
a2 = 5 = 2 + 3 = a + b
a3 = 8 = 5 + 3 = (a + b) + b = a + 2b
a4 = 11 = 8 + 3 = (a + 2b) + b = a + 3b
an = a + (n-1) b


Jadi rumus suku ke-n dalam barisan aritmetika adalah:
b a a ( n 1 ) n 1 = + – atau S a ( n 1)b n 1 = + – dimana:
Sn = an = Suku ke-n
a1 = suku pertama
b = beda antar suku
n = banyaknya suku

contoh soal
1. Suatu barisan aritmatika suku ke 3 nya adalah -1 dan suku ke-7 nya 19. tentukan : U70
Solusi :


Kurangi U3 dengan U7
20 = 4b

Dari b=5, masukkan ke persamaan U7
19 =a +30
a= -11

U70 = 334
     b. Deret Aritmetika (Deret Hitung)

a + (a+b) + (a+2b) + . . . . . . + (a + (n-1) b) disebut deret aritmatika.
a = suku awal
b = beda
n = banyak suku
U_n = a + (n – 1) b adalah suku ke-n

Jumlah n suku
Sn = 1/2 n(a+U_n)
= 1/2 n[2a+(n-1)b]
= 1/2bn² + (a – 1/2b)n ® Fungsi kuadrat (dalam n)

Keterangan:

1. Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = S_n“)
2. Barisan aritmatika akan naik jika b > 0
   Barisan aritmatika akan turun jika b < 0
3. Berlaku hubungan U_n = S_n – S_n-1 atau Un = S_n’ – 1/2 S_n“
4. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah

U_t = 1/2 (U₁ + U_n) = 1/2 (U₂ + U_n-1)          dst.

1. S_n = 1/2 n(a+ U_n) = nU_t ® U_t = Sn / n
2. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan aritmatika, maka untuk memudahkan perhitungan misalkan bilangan-bilangan itu adalah a – b , a , a + b

Contoh soal
1:Hitunglah jumlah bilangan antara 1 dan 400 yang habis dibagi 5 tetapi tidak habis dibagi 7
Jawab:
S=Jumlah bil. kelipatan 5 – Jumlah bil. kelipatan 35
_= (5+10+15+…+395) – (35+70+…+385)
_= –
_=
_= 15800 – 2130
_= 13490.
Contoh Soal 2: Seutas tali dipotong-potong menjadi 14 bagian yang panjangnya membentuk barisan aritmatika. Jika tali yang terpanjang 21 cm dan bagian terpendek 4 cm, tentukan panjang tali semula.
Jawab:
S = = 175 cm.
Contoh Soal 3:Di antara bilangan 3 dan 99 disisipkan 15 buah bilangan sehingga bilangan-bilangan yang disisipkan membentuk suatu barisan aritmatika. Cari beda barisan tersebut dan carilah jumlah deret aritmatika tersebut.
Jawab:
Logikanya, jika disisipkan 15 buah bilangan, maka renggang dari 3 sampai 99 ada (15+1)interval.
99 = 3 + 16d, maka d = 6. Jadi, bedanya adalah 6.
S = = 17.51 = 867.

4. Barisan dan Deret Geometri

    a. Barisan Geometri
U₁, U₂, U₃, ……., U_n-1, U_n disebut barisan geometri, jika
U₁/U₂ = U₃/U₂ = …. = U_n / U_n-1 = konstanta
Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r)
Rasio r = U_n / U_n-1

Suku ke-n barisan geometri
a, ar, ar² , …….ar^n-1
U₁, U₂, U₃,……,U_n
Suku ke n U_n = ar^n-1
® fungsi eksponen (dalam n)


Misal: 3, 6, 12, 24, 48, ……………..
a1 = 3 = a
a2 = 6 = 3 x 2 = a x r = ar
a3 = 12 = 6 x 2 = ar x r = ar2
a4 = 24 = 12 x 2 = ar2 x r = ar3
an = arn-1

Jadi rumus suku ke-n dalam barisan geometri adalah:
n 1
n a =ar – dimana:
an = suku ke- n (Sn)
a = suku pertama
r = rasio antar suku berurutan
n = banyaknya suku



    b. Deret Geometri (Deret Ukur)
a + ar² + ……. + ar^n-1 disebut deret geometri
a = suku awal
r = rasio
n = banyak suku

Jumlah n suku
Sn = a(rⁿ-1)/r-1 , jika r>1
= a(1-rⁿ)/1-r , jika r<1 ® Fungsi eksponen (dalam n)

Keterangan:

1. Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap
2. Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku
   U_n > U_n-1
3. Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku
   U_n < U_n-1
   
   Bergantian naik turun, jika r < 0
4. Berlaku hubungan U_n = S_n – S_n-1
5. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
   _______      __________
   Ut = Ö U₁xU_n = Ö U₂ X U_n-1 dst.
6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar

5. DERET GEOMETRI TAK BERHINGGA

Deret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari
U₁ + U₂ + U₃ + …………………………
¥
å Un = a + ar + ar² …………………….
n=1

dimana n ® ¥ dan -1 < r < 1 sehingga rⁿ ® 0

Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :
Jumlah tak berhingga S_¥ = a/(1-r)

Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1

Catatan:
a + ar + ar² + ar³ + ar⁴ + …….……….


Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil

a+ar² +ar⁴+ …….                     S_ganjil = a / (1-r²)



Jumlah suku-suku pada kedudukan genap

a + ar³ + ar⁵ + ……                  S_genap = ar / 1 -r²

Didapat hubungan : S_genap / S_ganjil = r

PELUANG

A. Pengertian Peluang Suatu Kejadian

    1. Definisi kejadian :
         Kejadian atau peristiwa merupakan himpunan bagian dari ruang sampel
    2. Definisi peluang :
        Peluang suatu kejadian yang diinginkan adalah perbandingan banyaknya titik sampel kejadian yang diinginkan itu dengan banyaknya anggota ruang sampel kejadian tersebut.
 

Di dalam materi mengenai peluang, dikenal beberapa istilah yang sering digunakan, seperti:

a. Ruang Sampel

Merupakan himpunan dari semua hasil percobaan yang mungkin terjadi.

b. Titik Sampel

Merupakan anggota yang ada di dalam ruang sampel

c. Kejadian

Merupakan himpunan bagian dari ruang sampel.

B. RUMUS PELUANG MATEMATIKA

  Frekuensi merupakan perbandingan antara banyaknya percobaan yang dilakukan dengan banyaknya kejadian yang diamati. Frekuensi dapat diketahui dengan menggunakan rumus:

Apabila setiap titik sampel dari anggota ruang sampel S mempunyai peluang yang sama, maka peluang kejadian K yang jumlah anggotanya dinyatakan dalam n(K) dapat diketahui dengan rumus :

Peluang munculnya kejadian dapat diperkirakan melalui notasi di bawah ini:

Apabila nilai P(K) = 0 maka kejadian K tersebut sangat mustahil untuk terjadi

Apabila nilai P(K) = 1 maka kejadian K tersebut pasti akan terjadi

Amatilah contoh soal di bawah ini:

Contoh Soal 1

Pada proses pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang munculnya mata dadu yang berangka ganjil

Jawab:

Ruang sampel S = {1,2,3,4,5,6}

n(S) = 6

Mata dadu ganjil = {1,3,5}

n(S) = 3

maka P(K) = 3/6 = 1/2

Kejadian Majemuk

Kejadian majemuk adalah dua atau lebih kejadian yang dioperasikan sehingga terbentuklah sebuah kejadian yang baru

Suatu kejadian K dan kejadian komplemen berupa K' memenuhi persamaan:

P(K) + P(K') = 1 atau P(K') = 1 - P(K)

Contoh Soal 2

dari seperangkat kartu bridge, diambillah satu buah kartu secara acak. tentukan peluang terambilnya kartu yang bukan As.

Jawab:

jumlah kartu bridge = n(S) = 52

jumlah kartu As = n(K) = 4

P(K) = 4/52 = 1/13

peluang yang terambil bukan kartu As = P(K') = 1-P(K) = 1 - 1/13 = 12/13

C. PENJUMLAHAN PELUANG

     1. Kejadian Saling Lepas

         Dua buah kejadian A dan B dikatakan saling lepas apabila tak ada satupun elemen pada kejadian A yang sama dengan elemen yang ada pada kejadian B. untuk dua buah kejadian yang saling lepas, maka peluang salah satu A atau B mungkin terjadi, rumusnya adalah:

P(A u B) = P(A) + P(B)

Contoh Soal 3

Dua buah dadu masing-masing berwarna merah dan putih dilempar secara bersamaan sebanyak satu kali, tentukanlah peluang munculnya mata dadu yang berjumlah 3 atau 10!

Jawab:

Hasil pelemparan dadu tersebut dapat digambarkan dengan tabel ini:

Kejadian mata dadu berjumlah 3 ditandai dengan warna kuning.

A = {(1,2), (2,1)}

n(A) = 2

Kejadian mata dadu berjumlah 10 ditandai dengan warna biru

B = {(4,6), (5,5), (6,4)}

Karena tidak ada elemen yang sama pada A dan B digunakan rumus:

P(A u B) = P(A) + P(B)

P(A u B) = 2/36 + 3/36

P(A u B) = 5/36

     2. Kejadian Tidak Saling Lepas

         Artinya ada elemen A yang sama dengan elemen B, rumusnya dapat dituliskan menjadi:

P(A u B) = P(A) + P(B) - P(A n B)

Contoh Soal 4
Sebuah kartu diambil dari tumpukkan kartu bridge secara acak. coba kalian tentukan peluang dari kartu yang terambil adalah kartu hati dan kartu bergambar (K,Q,J)!

Jawab:
Jumlah kartu bridge = n(S) = 52
jumlah kartu hati = n(A) = 13
jumlah kartu bergambar = n(B) = 12

karena ada kartu bergambar yang merupakan kelompok kartu hati (J hati, Q hati, dan K hati) maka A dan B tidak saling lepas sehingga digunakanlah rumus:

P(A u B) = P(A) + P(B) - P(A n B)
= 13/52 + 12/52 - 3/52

= 22/52 = 11/26

      3. Kejadian Saling Bebas

Dua buah kejadian dapat disebut saling bebas bila munculnya kejadian A tidak berpengaruh pada munculnya kejadian B sehingga peluang kejadian A dan B terjadi bersamaan dapat dituliskan menjadi:

P(A n B) = P(A) x P(B)

Contoh Soal 5

Pada percobaan pelemparan dua buah dadu, coba tentukan peluang munculnya angka genap pada dau pertama dan angka ganjil prima pada dadu kedua!

Jawab:

misalkan A = kejadian munculnya mata dadu genap pada dadu pertama = {2,4,6} maka P(A) = 3/6

misalkan B = kejadian munculnya mata dadu ganjil prima pada dadu kedua = {3,5} maka P(B) = 2/6

karena kejadian A tidak berpengaruh pada kejadian B maka digunakan rumus:

P(A n B) = P(A) x P(B)

P(A n B) = 3/6 x 2/6 = 1/6

      4. Kejadian Bersyarat

kejadian bersyarat terjaid apabila kejadian A mempengaruhi munculnya kejadian B atau sebaliknya. maka dapat dituliskan seperti ini:

P(A n B) = P(A) x P(B/A)

atau

P(A n B) = P(B) x P(A/B)

Contoh Soal 6

ada sebuah kotak yang berisi 5 bola merah dan 4 bola hijau. bila diambil dua buah bola satu persatu tanpa adanya pengembalian, tentukanlah peluang bola yang terambil adalah bola merah pada pengambilan pertama dan bola hijau pada pengambilan kedua!

Jawab:

Pada pengambilan pertama tersedia 5 bola merah dari 9 bola yang ada.

maka P(M) = 5/9

Pada pengambilan kedua ada 4 bola hijau dari 8 bola yang tersisa (dengan syarat bola merah telah terambil).

maka P(H/M) = 4/8

karena kejadiannya saling berpengaruh, digunakanlah rumus:

P(M n H) = P(M) x P(H/M)

P(M n H) = 5/9 x 4/8 = 5/18

BANGUN RUANG

 A. Pengertian Bangun Ruang

      Bangun ruang atau disebut juga dengan bangun tiga dimensi yaitu sebuah bangun yang memiliki ruang dan dibatasi oleh sisi-sisi. Jumlah dan model dari sisi-sisi yang membatasi bangun tersebut menentukan nama dan bentuk dari bangun tersebut.

B. Macam-Macam Bangun Ruang.

    1. Kubus merupakan bangun yang dibatasi oleh 6 sisi yang sama dan sebangun.

    2. Balok merupakan bangun ruang yang dibatasi oleh 6 sisi yang mempunyai ukuran  panjang dan   lebar.

    3. Tabung merupakan bangun runag yang dibatasi sisi lengkung dan dua buah lingkaran. Prisma merupakan bangun ruang yang dibatasi oleh 6 sisi yang mempunyai ukuran  panjang dan lebar.

    4. Kerucut merupakan bangun ruang yang dibatasi oleh alas yang berbentuk lingkaran dan selimut yang berbentuk lengkung.

    5.  Limas merupakan bangun ruang yang dibatasi oleh  sisi yang berbentuk segitiga

C. Sifat-Sifat Bangun Ruang

1.	Sifat-Sifat Kubus
	Bangun ruang  ini memiliki sifat-sifat sebagai berikut. a. Memiliki 6 sisi yang ukuran dan modelnya sama. b. Memiliki 12 rusuk yang ukurannya sama. c. Memiliki 8 buah sudut yang sama besar (90o). d. Memiliki ukuran s x s x s	Kubus
2.	Sifat-Sifat Balok
	Bangun ruang  ini memiliki sifat-sifat sebagai berikut. a. Memiliki 4 sisi  berbentuk persegi panjang. b. Memiliki 2 sisi yang bentuknya sama. c. Memiliki 4 rusuk yang ukurannya sama d. Memiliki ukuran p x l x t.	Balok
3.	Sifat-Sifat Tabung
	Bangun ruang  ini memiliki sifat-sifat sebagai berikut. a. Memiliki sisi alas yang berbentuk lingkaran. b. Memiliki sisi atas yang berbentuk lingkaran. c. Memiliki  sisi (selimut) yang bentuknya lengkung.	Tabung
4.	Sifat-Sifat Kerucut
	Bangun ruang  ini memiliki sifat-sifat sebagai berikut. a. Memiliki sisi alas yang berbentuk lingkaran. b. Memiliki titik puncak atas. c. Memiliki  sisi (selimut) yang bentuknya lengkung.	Kerucut
5.	Sifat-Sifat Limas Segitiga
	Bangun ruang  ini memiliki sifat-sifat sebagai berikut. a. Alas berbentuk segitiga. b. Memiliki 3 buah sisi yang berbentuk segitiga. c. Memiliki 6 buah rusuk. d. Memiliki 3 rusuk yang ukurannya sama. e. Memiliki titik puncak atas.	Limas Segitiga

KEKONGRUENAN

A. Pengertian kongruen

     Dua buah bangun yang kongruen adalah bangun yang mempunyai sisi-sisi yang sama (ukurannya sama), bentuknya sama dan sudutnya pun sama.

   Pernahkah kamu melihat seorang tukang bangunan yang sedang memasang ubin? Sebelum ubin-ubin itu dipasang, biasanya tukang tersebut memasang benang-benang sebagai tanda agar pemasangan ubin tersebut terlihat rapi, seperti tampak pada gambar di bawah ini. Cara pemasangan ubin tersebut dapat diterangkan secara geometri seperti berikut.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Gambar di atas adalah gambar permukaan lantai yang akan dipasang ubin persegipanjang. Pada permukaannya diberi garis-garis sejajar. Jika ubin ABCD digeser searah AB (tanpa dibalik), diperoleh A => B, B => E, D => C, dan C => F sehingga ubin ABCD akan menempati ubin BEFC. Akibatnya,:

 AB => BE sehingga AB = BE

BC => EF sehingga BC = EF

DC => CF sehingga DC = CF

AD => BC sehingga AD = BC

∠DAB =>  ∠CBE sehingga ∠DAB = ∠CBE

∠ABC =>  ∠BEF sehingga ∠ABC = ∠BEF

∠BCD =>  ∠EFC sehingga ∠BCD = ∠EFC

∠ADC =>  ∠BCF sehingga ∠ADC = ∠BCF

Berdasarkan uraian tersebut, diperoleh

1. sisi-sisi yang bersesuaian dari persegipanjang ABCD dan persegipanjang BEFC sama panjang, dan
2. sudut-sudut yang bersesuaian dari persegi panjang ABCD dan persegipanjang BEFC sama besar.

Hal tersebut menunjukkan bahwa persegipanjang ABCD dan persegipanjang BEFC memiliki bentuk dan ukuran yang sama. Dua persegi panjang yang demikian dikatakan kongruen.

Berdasarkan uraian tersebut diperoleh gambaran bahwa dua bangun yang kongruen pasti sebangun, tetapi dua bangun yang sebangun belum tentu kongruen. Bangun-bangun yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama dikatakan bangun-bangun yang kongruen. Pengertian kekongruenan tersebut berlaku juga untuk setiap bangun datar.

Contoh Soal

Perhatikan gambar di bawah ini! Apakah persegipanjang ABCD kongruen dengan persegi panjang PQRS dan  apakah persegipanjang ABCD sebangun dengan persegi panjang PQRS? buktikan!

Penyelesaian:

Unsur-unsur persegipanjang ABCD adalah AB = DC = 8 cm, AD = BC = 6 cm, dan ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°. Amati persegipanjang PQRS dengan diagonal PR. Panjang PQ dapat ditentukan dengan menggunakan Dalil Pythagoras seperti berikut.

PQ = √(PR)² – (QR)²

PQ = √(10)² – (6)²

PQ = √64

PQ = 8

Jadi, unsur-unsur persegipanjang PQRS adalah PQ = SR = 8 cm, PS = QR = 6 cm, dan ∠P = ∠Q = ∠R = ∠S= 90°.  Dari uraian tersebut tampak bahwa sisi-sisi yang bersesuaian dari persegipanjang ABCD dan persegipanjang PQRS sama panjang. Selain itu, sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua persegipanjang itu sama besar. Jadi, persegipanjang ABCD kongruen dengan persegipanjang PQRS. Dua bangun datar yang kongruen pasti sebangun. Jadi, persegi panjang ABCD sebangun dengan persegipanjang PQRS.

 

B. Syarat dua bangun yang kongruen :

1.       Mempunyai sisi-sisi yang sama (sisi-sisi-sisi). Ketiga sisi dari dua segitiga itu mempunyai ukuran yang sama.

 

2.       Mempunyai dua buah sisi yang sama dan satu sudut yang sama (sisi-sisi-sudut)

 

3.       Mempunyai sebuah sisi yang sama dan dua sudut yang sama (sisi-sudut-sudut)

 

 

 

 

Kesebangunan dan Syarat-syaratnya

  A. Kesebangunan

 

     Kesebangunan adalah kesamaan perbandingan panjang sisi dan besar sudut antara dua buah bangun datar atau lebih. Pengertian kesebangunan seperti ini berlaku umum untuk setiap bangun datar. Dua bangun datar dikatakan sebangun jika memenuhi dua syarat berikut.

1) Panjang sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua bangun itu memiliki perbandingan senilai.

2) Sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua bangun itu sama besar. 

    Salah satu syarat kesebangunan adalah sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Maksud dari kata sama besar adalah ukuran sudutnya sebanding, Dua bangun yang kongruen pasti sebangun, tetapi dua bangun yang sebangun belum tentu kongruen. Bangun-bangun yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama dikatakan bangun-bangun yang kongruen. Pengertian kekongruenan tersebut berlaku juga untuk setiap bangun datar.

    Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang pengertian kesebangunan, silahkan perhatikan contoh soal di bawah ini. Contoh Soal 

Jika persegipanjang ABCD sebangun dengan persegi panjang PQRS, hitung panjang QR. 

Penyelesaian:

Salah satu syarat dua bangun dikatakan sebangun adalah sisi-sisi yang bersesuaian sebanding. Oleh karena itu,

AB/PQ = BC/QR

2/6 = 5/QR

2QR = 30

QR = 15

Jadi, panjang QR adalah 15 cm.

B. Syarat – Syarat Kesebangunan Segitiga

Salah satu gambar segitiga. Apakah sebangun atau tidak?

Unsur-Unsur yang Diketahui Pada Segitiga	Syarat Kesebangunan
1. Sisi-sisi-sisi (s.s.s)	1. Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian sama
2. Sudut-sudut-sudut (sd.sd.sd)	2. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
3. Sisi-sudut-sisi (s.sd.s)	3. Dua sisi yang bersesuaian memiliki         perbandingan yang sama dan sudut bersesuaian yang diapit sama besar

 

 

 

 

FUNGSI

A. Pengertian Fungsi
 

      Fungsi dalam matematika adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota x dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (Domain) dengan suatu nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan (Kodomain). Himpunan nilai yang diperoleh dari relasi tersebut disebut daerah hasil ( Range).Pada fungsi, terdapat beberapa istilah penting, di antaranya: 

 -Domain yaitu daerah asal fungsi f dilambangkan dengan Df.

 -Kodomain yaitu daerah kawan fungsi f dilambangkan dengan Kf.

 -Range yaitu daerah hasil yang merupakan himpunan bagian dari kodomain. Range fungsi f      dilambangkan dengan Rf

 

B. SIFAT-SIFAT FUNGSI

     1. FUNGSI INJEKTIF

 Disebut fungsi satu-satu . Misalkan fungsi f menyatakan A ke B maka fungsi f disebut suatu fungsi satu-satu (injektif), apabila setiap dua elemen yang berlainan di A akan dipetakan pada dua elemen yang berbeda di B. Selanjutnya secara singkat dapat dikatakan bahwa f:A→B adalah fungsi injektif apabila a ≠ b berakibat f(a) ≠ f(b) atau ekuivalen, jika f(a) = f(b) maka akibatnya a = b.

    2. FUNGSI SURJEKTIF

Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada atau fungsi surjektif jika dan hanya jika untuk sembarang b dalam kodomain B terdapat paling tidak satu a dalam domain A sehingga  berlaku f(a) =b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range). 

    3. FUNGSI BIJEKTIF

 Suatu pemetaan f: A→B sedemikian rupa sehingga f merupakan fungsi yang injektif dan surjektif sekaligus, maka dikatakan “f adalah fungsi yang bijektif” atau “ A dan B berada dalam korespondensi satu- satu”

 

C.   JENIS-JENIS   FUNGSI  

    1. FUNGSI LINEAR

Fungsi pada bilangan real yang didefinisikan : f(x) = ax + b, a dan b konstan dengan a ≠ 0

disebut fungsi linear.

    2. FUNGSI KONSTAN

Misalkan f:A→B adalah fungsi di dalam A maka fungsi f disebut fugsi konstan jika dan hanya  jika jangkauan dari f hanya terdiri dari satu anggota.

    3. FUNGSI IDENTITAS

Misalkan f:A→B adalah fungsi dari A ke B maka f disebut fungsi identitas jika dan hanya jika

range f = kodomain atau f(A)=B.

     4. FUNGSI KUADRAT 

Fungsi f: R→R yang ditentukan oleh rumus f(x) = ax2 + bx + c dengan a,b,c ∈ R dan a ≠ 0

disebut fungsi kuadrat.

 

 

Relasi dan Cara Menyatakannya

1. Pengertian Relasi

       Dalam teori himpunan , relasi menghubungkan dua buah himpunan dengan suatu hubungan tertentu. misalnya ada dua buah himpunan A dan himpunan B sehingga dapat dinyatakan bahwa relasi dari dua himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B.

2. Cara Menyatakan Relasi
Relasi dari dua himpunan A dan himpunan B dapat dinyatakan dengan 3 cara yaitu diagram panah, diagram cartesius dan himpunan pasangan berurutan.

      a. Diagram Panah

Anggota-anggota himpunan P berelasi dengan anggota himpunan Q dengan relasi “menyukai”. Hal tersebut ditunjukkan dengan arah panah. Oleh karena itu, diagramnya disebut diagram panah.

 

     b. Diagram Cartesius

Diagram kartesius merupakan diagram yang terdiri atas sumbu X dan sumbu Y. Pada diagram kartesius, anggota himpunan P terletak pada sumbu x, sedangkan anggota himpunan Q terletak pada sumbu y.Relasi yang menghubungkan himpunan P dan Q ditunjukkan dengan noktah atau titik.

    c. Himpunan Pasangan Berurutan

 

Sebuah relasi yang menghubungkan himpunan yang satu dengan himpunan lainnya dapat disajikan dalam bentuk himpunan pasangan berurutan. Cara penulisannya adalah anggota himpunan P ditulis pertama, sedangkan anggota himpunan Q menjadi pasangannya.

contoh :
{(Rani, basket)}, {(Rani, bulu tangkis)}, {(Dian, basket)}, {(Dian, atletik)}, {(Isnie, senam)}, {(Dila, basket)}, {(Dila, tenis meja)}

Himpunan dan Macam-macam Himpunan

1.   Pengertian Himpunan

       Dalam matematika, himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan danteori himpunan sangatlah berguna. Sedangkan dalam pengertian yang lebih lengkap, himpunan adalah kumpulan suatu benda baik kongkrit (nyata) ataupun abstrak yang berada dalam suatu tempat sesuai dengan sifat tertentu. Benda kongkrit ataupun abstrak yang terdapat dalam himpunan disebut elemen atau anggota himpunan, biasanya ditulis di antara dua kurung kurawal notasi ϵ. Sedangkan, himpunan yang tidak mempunyai anggota disebut himpunan kosong. Nama himpunan biasanya dinotasikan dengan huruf kapital. Contoh, benda a menjadi anggota himpunan K dapat dinyatan dengan a ϵ K. Sedangkan, banyaknya anggota himpunan K yang berhingga dinotasikan dengan n (K).

Himpunan K dan L

2. Macam-macam himpunan dalam Matematika adalah :

       1.Himpunan berhingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya dapat dihitung. 
Contohnya D = {bilangan genap kurang dari 10} atau A = {2,4,6,8}. 
Himpunan D jumlah angotanya dapat dihitung yaitu sebanyak 4 buah. 

       2. Himpunan tak hingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya tidak terbatas atau tak hingga. Contohnya: A= {bilangan genap}, B= {bilangan ganjil} 

       3.Himpunan kosong adalah suatu himpunan yang tidak memiliki anggota sama sekali. Himpunan kosong dilambangkan dengan tanda {}. 
Contohnya B = {bilangan genap antara 2 dan 4}. ditulis B={}={0}.

       4.Himpunan ekuivalen/himpunan sama adalah himpunan yang anggotanya sama
   contohnya A= {b,c,d} B={d,c,b} A=B

       5.Himpunan semesta adalah himpunan dari semua unsur yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta juga disebut himpunan uiversal dan ditulis dengan huruf S.
contohnya:A = {1,3,5,7,9}
himpunan semestanya berupa:
S = {bilangan asli}
S = {bilangan cacah} 
S = {bilangan ganjil kurang dari 10}

     6.Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggotanya dimulai dari nol dan seterusnya contoh K = {0,1,2,3,4,5} 

     7.Himpunan bagian adalah apabila setiap unsur dalam himpunan B termasuk juga anggota A, maka B merupakan bagian dari himpunan A. contohnya B = {a,c,e} A = {a,b,c,d,e} 
jadi B bagian dari A.Anggota himpunan n adalah suatu unsur dari suatu himpunan. Contohnya : A = (a,b,c,d,e} maka a elemen A

     8.Himpunan lepas adalah ssuatu himpunan yang tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan lain. ContohnyaA = {d,e,f} B = {g,h,i} maka himpunan A tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan B atau A//B bukan anggota himpunan adalah unsur ini tidak termasuk dalam himpunan tersebut contohnya A = {a,b,c,d} e bukan anggota himpunan A.


    9.Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggotanya dimulai dari bilangan satu dan seterusnya.Contohnya D = {1,2,3,4,...}

    10. Himpunan bilangan genap adalah himpunan yang anggotanya dimulai dari angka dua dan selalu genap atau habis dibagi dua contohnya G = {2,4,6,8,10}

    11.Himpunan bilangan ganjil adalah himpunan yang anggota bilanganya tidak habis dibagi dua .contohnya K = {1,3,5,7}

    12.Himpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan yang anggotanya semua bilangan yang memiliki dua faktor contohnya Y = {2,3,,5,7}

    13. Himpunan kuadrat bilangan cacah adalah himpunan bilangan cacah yang anggotanya dipangkatkan dua.Contohnya Y = {0^2,1^2,3^2)

3. Cara menyatakan himpunan:

• Dengan kata-kata. Contoh: A = himpunan bilangan asli yang kurang dari 20
• Dengan roster(mendaftar anggota-anggotanya). Contoh: B = {…., 2, 3, 5, 7, 11, 13, ….}
• Dengan rule (notasi pembentuk himpunan atau anggota himpunan dinotasikan dengan huruf kecil yang kemudian diikuti dengan garis dan syarat keanggotaan himpunan). Contoh: C = {x| -1 ≤ x ≤ 10, x ϵ B}.

MACAM-MACAM GRAFIK DAN CONTOH GRAFIK

A. Grafik
  Grafik adalah gambaran pasang surutnya suatu keadaan atau data yang ada dengan garis atau gambar. Grafik dibedakan menjadi tiga macam, yaitu grafik batang, grafik garis, dan grafik lingkaran.
      1. Grafik Batang adalah lukisan naik turunnya data berupa batang atau balok dan dipakai untuk menekan kan adanya perbedaan tingkatan atau nilai berupa aspek. Contoh Grafik Batang :

Grafik Batang Pekerjaan Orang Tua Siswa SMK Negeri 2

 

 2. Grafik Garis adalah lukisan naik turunnya data berupa garis yang di hubungkan dari titik-titik data secara berurutan. Grafik ini di gunakan untuk menggambarkan perkembangan atau perubahan dari waktu ke waktu.
Contoh Grafik Garis :

grafik pengunjung Perpustakaan SMKN 2

 
3. Grafik Lingkaran adalah gambaran naik turunnya data berupa lingkaran untuk menggambarkan persentase dari nilai total atau seluruhnya.
Contoh Grafik Lingkaran :

Persentase penganut agama di SMK 9

arti statistik dan statistika

1.1. Pengertian statistik dan statistika Statistik 

           Statistik adalah kumpulan data, bilangan maupun non bilangan yang disusun dalam table dan atau diagram yang melukiskan suatu persoalan. 
           Statistika adalah pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan   data,  pengolahan atau penganalisaannya dan penarikan kesimpulan berdasarkan kumpulan data dan penganalisaan yang dilakukan.
 Statistika dikelompokkan dalam dua kelompok yaitu statistika deskriptif dan statistika inferensia. Statistika deskriptif

adalah metode yang berkaitan dengan  pengumpulan dan penyajian suatu gugus data sehingga memberikan informasi yang  berguna. Sedangkan pengertian

statistika inferensia adalah metode yang berhubungan dengan analisis sebagian data untuk kemudian sampai pada peramalan atau penarikan kesimpulan tentang seluruh gugus data induknya.

1.2. Data Statistik

       Data statistik adalah keterangan atau ilustrasi mengenai sesuatu hal yang bisa  berbentuk kategori (misalnya rusak, baik, cerah, berhasil) atau bilangan. Selanjutnya data yang berupa kategori disebut sebagai data kualitatif dan data bilangan disebut data kuantitatif 

. Berdasarkan cara perolehannya data kuantitatif dibedakan menjadi data diskrit dan data kontinu. Data-data yang diperoleh dari hasil menghitung atau membilang termasuk dalam data diskrit, sedangkan data-data yang diperoleh dari hasil mengukur termasuk dalam data kontinu.

         Menurut sumbernya kita mengenal data intern dan data ekstern. Data intern adalah data yang diperoleh dari perusahaan atau instansi yang bersangkutan. Sedangkan data ekstern diperoleh dari luar instansi atau perusahaan tersebut. Data ekstern dibedakan menjadi data primer dan data sekunder.

Data primer adalah data yang dikeluarkan oleh badan sejenis. Sedangkan data lainnya termasuk data sekunder

. Semua data-data yang beru dikumpulkan dan belum pernah diolah disebut sebagai

data mentah

.

1.3. Populasi dan sampel Populasi

        Populasi adalah keseluruhan pengamatan yang menjadi perhatian kita baik yang  berhingga maupun tak berhingga jumlahnya. Seringkali tidak praktis mengambil data dari keseluruhan populasi untuk menarik suatu kesimpulan. Untuk itu dilakukan pengambilan sampel yaitu sebagian atau himpinan bagian dari populasi. Sampel yang diambil haris dapat merepresentasikan populasi yang ada. Prosedur pengambialan sampel yang menghasilkan kesimpulan yang konsisten terlalu tinggi atau terlalu rendah mengenai suatu ciri populasi dikatakan berbias. Untuk menghindari kemungkinan bias ini perlu dilakukan pengambian contoh acak atau contoh acak sederhana.

Contoh acak sederhana

 didefinisikan sebagai contoh yang dipilih sedemikian rupa sehingga setiap himpunan  bagian yang berukuran n dari populasi mempunyai peluang terpilih yang sama.

 

 

1.4. Pembulatan angka

       Dalam perhitungan dan analisis data statistik seringkali diperlukan pembulatan angka-angka. 

Berikut ini adalah beberapa aturan tentang pembulatan angka-angka.  

  1. Jika angka yang harus dihilangkan adalah 4 atau kurang, maka angka terkanan yang mendahuluinya tetap.

Contoh:

Rp. 59.376,- dibulatkan menjadi Rp. 59 ribu. 

       2. Jika angka yang haarus dihilangkan adalah lebih dari 5 atau angka 5 diikuti angka  bukan nol maka angka yang mendahuluinya ditambah dengan 1.

Contoh:

176,51 kg dibulatkan menjadi 177 kg.

       3. Jika angka yang harus dihilangkan hanya angka 5 atau angka 5 diikuti nol, maka angka yang mendahuluinya tetap jika genap dan ditambah 1 jika ganjil.

Contoh:

8,500 dibulatkan menjadi 8 19,5 dibulatkan menjadi 20 

 

1.5. Penyajian Data

Secara garis besar ada dua macam cara penyajian data dalam statistika yaitu: 

 1. Tabel atau daftar yang dapat berbentuk: 

   a. Daftar baris kolom  

         b. Daftar kontingensi 

         c. Daftar distribusi frekuensi 

 2. Grafik atau diagram yang terbagi menjadi: 

 

         a. Diagram batang atau balok

         b.    Diagram garis atau grafik 

         c. Diagram lingkaran 

  d. Diagram lambing 

  e. Diagram peta 

  f. Diagram pencar